Question

已知圆C：x²+y²-2x+4y-4=0．问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y=kx-1对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析：求出圆的圆心坐标，代入直线方程求出直线的斜率，推出AB的斜率，设出AB的方程，联立AB与圆的方程，利用x₁x₂+y₁y₂=0，求出b的值，即可求出AB的方程．

解答：解：圆C：x²+y²-2x+4y-4=0的圆心坐标（1，-2），
因为在两点A、B关于直线y=kx-1对称，所以直线经过圆的圆心，
所以-2=k-1，k=-1．直线AB的斜率为：1；
设直线AB的方程为x-y+b=0；对称轴方程为：x+y-1=0，

x-y+b=0 x2+y2-2x+4y-4=0

可得2x²+2（b+2）x+b²+4b-4=0，
x₁x₂=

b2+4b-4

2

，x₁+x₂=-b-2．
以AB为直径的圆经过原点．
x₁x₂+y₁y₂=0，2×

b2+4b-4

2

+b²+b（-b-2）=0，解得b=±

5

-1
所以所求直线AB的方程为x-y-

5

-1=0或x-y+

5

+1=0．

点评：本题考查圆的方程的综合应用，直线与圆的位置关系，考查转化思想与计算能力．