Question

（2013•浙江模拟）已知正实数x，y满足lnx+lny=0，且k（x+2y）≤x²+4y²恒成立，则k的最大值是

2

．

Answer 1

分析：由题意可得xy=1，k应小于或等于

x2+4y2

x+2y

的最小值．令 x+2y=t，可得 t≥2

2

，且

x2+4y2

x+2y

=t-

4

t

，故k应小于或等于t-

4

t

的最小值．根据函数 t-

4

t

在[2

2

，+∞） 上是增函数，求得t-

4

t

取得最小值，即可得到k的最大值．

解答：解：∵已知正实数x，y满足lnx+lny=0，∴xy=1．∵k（x+2y）≤x²+4y²恒成立，∴k≤

x2+4y2

x+2y

，
故k应小于或等于

x2+4y2

x+2y

的最小值．
令 x+2y=t，则由基本不等式可得 t≥2

2

，当且仅当 x=2y 时，取等号，故t∈[2

2

，+∞）．
故

x2+4y2

x+2y

=

t2-4

t

=t-

4

t

，故k应小于或等于t-

4

t

的最小值．
由于函数 t-

4

t

在[2

2

，+∞） 上是增函数，故当t=2

2

时，t-

4

t

取得最小值为

2

，
故k的最大值是

2

，
故答案为

2

．

点评：本题主要考查函数的恒成立问题，基本不等式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．