Question

【题目】已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，离心率为 且过点（ ，0），过定点C（﹣1，0）的动直线与该椭圆相交于A、B两点．
（1）若线段AB中点的横坐标是﹣ ，求直线AB的方程；
（2）在x轴上是否存在点M，使 为常数？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意可设椭圆的标准方程为： =1（a＞b＞0），

∴ ，a= ，a2=b2+c2，

解得a= ，c= ，b2= ．

∴椭圆的方程为x2+3y2=5，

直线斜率不存在时显然不成立，设直线AB：y=k（x+1），

将AB：y=k（x+1）代入椭圆的方程，消去y整理得（3k2+1）x2+6k2x+3k2﹣5=0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），则 ，

∵线段AB的中点的横坐标为 ，解得 ，

∴直线AB的方程为

（2）

解：假设在x轴上存在点M（m，0），使得MAMB为常数，

①当直线AB与x轴不垂直时，由（1）知 ，

∴ =（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=（k2+1）x1x2+（k2﹣m）（x1+x2）+k2+m2= ，

∵ 是与k无关的常数，从而有 ，

此时 = ．

②当直线AB与x轴垂直时，此时结论成立，

综上可知，在x轴上存在定点 ，使 ，为常数

【解析】（1）由题意可设椭圆的标准方程为： =1（a＞b＞0），可得 ，a= ，a2=b2+c2 ， 解出可得椭圆的方程．直线斜率不存在时显然不成立，设直线AB：y=k（x+1），将AB：=k（x+1）代入椭圆的方程，消去y整理得（3k2+1）x2+6k2x+3k2﹣5=0，由线段AB的中点的横坐标为 ，解得k，即可得出．（2）假设在x轴上存在点M（m，0），使得MAMB为常数，
①当直线AB与x轴不垂直时，利用根与系数的关系与数量积运算性质可得 =（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2 ， 即可得出．