Question

【题目】已知直线l：y=2x+m与圆O：x2+y2=1相交于A，B两个不同的点，且A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）．
（1）当△AOB面积最大时，求m的取值，并求出|AB|的长度．
（2）判断sin（α+β）是否为定值；若是，求出定值的大小；若不是，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵

∴当△AOB面积最大时，OA⊥OB

得O到AB的距离为 ；由d= = ，得m=±

此时|AB|=2 =

（2）解：联立直线y=2x+m和圆O：x2+y2=1消元得：5x2+4mx+m2﹣1=0，5y2﹣2my+m2﹣4=0，

于是x1x2=cosαcosβ= ，y1y2=sinαsinβ= ．

所以cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ= ﹣ = ，

由题意可知π＜α+β＜2π．

从而sin（α+β）=﹣

【解析】（1）当△AOB面积最大时，OA⊥OB，即可求m的取值，并求出|AB|的长度．（2）把直线方程和圆的方程联立后，分别消去x和y得到关于y和x的方程，利用根与系数关系得到α，β的余弦和正弦的积，然后利用和角的三角函数求值．