Question

【题目】已知数列中.

（1）是否存在实数，使数列是等比数列？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；

（2）若是数列的前项和，求满足的所有正整数.

Answer 1

【答案】（1）（2）1和2．

【解析】

试题分析：（1）判断数列是否为等比数列，一般利用定义：即判断

是否为常数，这时有两个思路，一是从特殊出发，先探索常数，再证明其对于任意皆成立；二是从一般出发，利用恒等式的条件求出常数，（2）（1）提供了求和的方法：先求出，再由，得，，因此，以下结合单调性解不等式即可.

试题解析：解：（1）设，

因为

． 2分

若数列是等比数列，则必须有（常数），

即，即， 5分

此时，

所以存在实数，使数列是等比数列 6分

（注：利用前几项，求出的值，并证明不扣分）

（2）由（1）得是以为首项，为公比的等比数列，

故，即， 8分

由，得， 10分

所以，

， 12分

显然当时，单调递减，

又当时，，当时，，所以当时，；

，

同理，当且仅当时，．

综上，满足的所有正整数为1和2． 16分