Question

已知数列{a_n}中，a₁=，点（n，2a_n+1-a_n）在直线y=x上，其中n=1，2，3，…．
（1）令b_n=a_n+1-a_n-1，求证数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设条件，令n=1，得a₂=，a₂-a₁-1=--1=-，再由b_n=a_n+1-a_n-1，b_n+1=a_n+2-a_n+1-1，得到==．所以b_n}是等比数列．
（2）由a_n+1-a_n-1=-×，知a₂-a₁-1=-×，a₃-a₂-1=-×，a_n-a_n-1-1=-×，将以上各式相加得到数列{a_n}的通项．
解答：解：（1）证明：a₁=，2a_n+1=a_n+n，
∵a₂=，a₂-a₁-1=--1=-，
又b_n=a_n+1-a_n-1，b_n+1=a_n+2-a_n+1-1，
∴=
===．
b_n=-×（）^n-1=-×，
∴{b_n}是以-为首项，以为公比的等比数列．
（2）∵a_n+1-a_n-1=-×，
∴a₂-a₁-1=-×，
a₃-a₂-1=-×，
∴a_n-a_n-1-1=-×，
将以上各式相加得：
∴a_n-a₁-（n-1）=-（+++），
∴a_n=a₁+n-1-×
=+（n-1）-（1-）=+n-2．
∴a_n=+n-2．
点评：本题考查数列的性质和综合应用，解题时要认真审题，注意累加求和法的合理运用．