Question

（12分）已知圆及定点，点Q是圆A上的动点，点G在BQ上，点P在QA上，且满足，=0．

（I）求P点所在的曲线C的方程；

   (II)过点B的直线与曲线C交于M、N两点，直线与y轴交于E点，若为定值。

 

Answer 1

【答案】

（I）+y²=1；（ⅡI）见解析．

【解析】（1）由，=0得垂直平分线段，

即，所以，根据椭圆的定义得曲线C的方程；

（2）利用点M、N在椭圆上， ，可得到，

                  ．，是方程的两个根，∴ ．

                                   

也可以设出直线  的方程，与椭圆  的方程联立，求出，．由，可得到，整理

∵，=0∴垂直平分线段，

即，所以，由椭圆定义：

曲线C的方程为+y²=1              5分

（Ⅱ）证法1：设点的坐标分别为，

又易知点的坐标为．且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交．

                  ∵，∴．

                  ∴ ，．        7分

                  将M点坐标代入到椭圆方程中得：，

                  去分母整理，得．           10分

                  同理，由可得：．

                  ∴ ，是方程的两个根，

                  ∴ ．                  12分

（Ⅱ）证法2：设点的坐标分别为，又易知点的坐标为．且点B在椭圆C内,故过点B的直线l必与椭圆C相交．

                  显然直线  的斜率存在，设直线  的斜率为 ，则直线  的方程是 ．

                  将直线  的方程代入到椭圆  的方程中，消去  并整理得

                  ．  8分

                  ∴ ，．

                  又 ∵，

                  则．∴，

                  同理，由，∴．             10分

                  ∴．  12分