Question

5．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）²+y²=25．
（I）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（II）直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），α为直线l的倾斜角，l与C交于A，B两点，且|AB|=$\sqrt{10}$，求l的斜率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²，能求出C的极坐标方程．
（Ⅱ）直线l的极坐标方程为θ=α（ρ∈R），设A，B所对应的极径分别为ρ₁，ρ₂，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ²+12ρcosα+11=0，由此利用|AB|=$\sqrt{10}$，能求出l的斜率．

解答 解：（Ⅰ）∵在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）²+y²=25，
∴x²+y²+12x+11=0，
以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，
x=ρcosθ，y=ρsinθ，ρ²=x²+y²，
∴C的极坐标方程为ρ²+12ρcosθ+11=0．
（Ⅱ）∵直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数），α为直线l的倾斜角，
∴直线l的极坐标方程为θ=α（ρ∈R），
设A，B所对应的极径分别为ρ₁，ρ₂，
将l的极坐标方程代入C的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ²+12ρcosα+11=0，
∴ρ₁+ρ₂=-12cosα，ρ₁ρ₂=11，
|AB|=|ρ₁-ρ₂|=$\sqrt{（{ρ}_{1}+{ρ}_{2}）^{2}-4{ρ}_{1}{ρ}_{2}}$=$\sqrt{144co{s}^{2}α-44}$，
由|AB|=$\sqrt{10}$，得cos²$α=\frac{3}{8}$，tanα=±$\frac{\sqrt{15}}{3}$，
∴l的斜率为$\frac{\sqrt{15}}{3}$或-$\frac{\sqrt{15}}{3}$．

点评 本题考查圆的极坐标方程的求法，考查直线的斜率的求法，是中档题，解题要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．