Question

【题目】已知抛物线的焦点为F,直线与轴的交点为P,与C的交点为Q,且过F的直线与C相交于A、B两点.

(1)求C的方程；

(2)设点且的面积为求直线的方程；

(3)若线段AB的垂直平分线与C相交于M、N两点,且A、M、B、N四点在同一圆上,求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或；（3），或

【解析】

（1）设点的坐标为，把点的坐标代入抛物线的方程，求得，根据求得的值，可得的方程；

（2）设的方程为，代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得弦长，再求出点到直线的距离，利用的面积列方程求解即可；
（3）把直线MN的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得．由于MN垂直平分线段AB，若MN的中点为H，故AMBN四点共圆等价于，由此求得m的值，可得直线的方程．

解：（1）设点的坐标为，把点的坐标代入抛物线，

可得，

点，

，

又，

，求得，或（舍去）。

故C的方程为．

（2）由题意可得，直线和坐标轴不垂直，的焦点为，

设的方程为，代入抛物线方程得

，

显然判别式，

AB的中点坐标。

弦长

的方程为，即，

到直线的距离为，

解得，

故直线的方程为或

（3）因为线段AB的垂直平分线与C相交于M、N两点，

设直线MN的方程为，

把线MN的方程代入抛物线方程可得，

，

故线段MN的中点H的坐标为，

，

∵MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于，

，

化简可得，

，

∴直线的方程为，或．