题目内容
【题目】已知
，
是椭圆
的左、右焦点，椭圆
过点
.
（1）求椭圆的方程；
（2）过点
的直线
（不过坐标原点）与椭圆交于
，
两点，且点在
轴上方，点在轴下方，若
，求直线的斜率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
(1) 由条件知
从而解得
，即可得到椭圆
的方程；
（2）设
，
，则
，
，设直线
的方程为
，代入椭圆的方程消去
，得
，由韦达定理及
可建立关于未知量的方程，解之即可.
（1）由条件知解得
因此椭圆的方程为.
（2）解法一：设，，则，，
设直线的方程为，
代入椭圆的方程消去，得，
由韦达定理得
，
，
由知
，即
，
带入上式得
，
所以
，解得
，
结合图形知
，故直线的斜率为.
解法二：设，，则，，
设直线的方程为，
代入椭圆的方程消去，得，
因此
，
，
由知，
代入上式得
，
解得，
结合图形知，故直线的斜率为.
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方案二：交纳延保金1000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次每次收取维修费100元．
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维修次数 | 0 | 1 | 2 | 3 |
台数 | 5 | 20 | 10 | 15 |
以这50台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率．记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数．
（1）求X的分布列；
（2）以所需延保金及维修费用的期望值为决策依据，工厂选择哪种延保方案更合算？
