Question

【题目】已知函数，.

（1）求函数在区间[1,2]上的最大值；

（2）设在(0,2)内恰有两个极值点，求实数m的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）对函数求导，判断函数单调性，由单调性即可得到函数的最值；（2）先求出f′（x），由题意知：mx2﹣4x+m＝0在（0，2）有两个变号零点，即在（0，2）有两个变号零点，构造函数，利用导数求出最值即可．

（1），∴p′（x）＝ex﹣，

∴p″（x）＝ex+＞0恒成立

所以p′（x）＝ex﹣在[1,2]单调递增，

∵p'（1）＝e﹣3＜0，，∴x0∈（1，2），使p'（x0）＝0，

当x∈[1，x0]时，p'（x）＜0，p（x）单调递减；

当x∈[x0，2]时，p'（x）＞0，p（x）单调递增．

又，>e+2

∴p（x）在[1，2]上的最大值为p（2）＝e2﹣3ln2+2．

（2），，

由题意知：=0在(0,2)有两个变号零点，

即在(0,2)有两个变号零点

令，，

令则x=1，且时，，g(x)单调递增；时，g(x)单调递减，

又g(0)=0,g(1)=2,g(2)=，