Question

如图K45­9所示，在三棱柱ABC ­ A₁B₁C₁中，AB⊥AC，顶点A₁在底面ABC上的射影恰为点B，且AB＝AC＝A₁B＝2.

(1)证明：平面A₁AC⊥平面AB₁B；

(2)求棱AA₁与BC所成角的大小；

(3)若点P为B₁C₁的中点，请求出二面角P ­ AB ­ A₁的余弦值．

图K45­9

Answer 1

解：(1)证明：∵A₁B⊥平面ABC，∴A₁B⊥AC，

又AB⊥AC，AB∩A₁B＝B，∴AC⊥平面AB₁B，

∵AC⊂平面A₁AC，∴平面A₁AC⊥平面AB₁B.

(2)以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则C(2，0，0)，B(0，2，0)，A₁(0，2，2)，B₁(0，4，2)，C₁(2，2，2)，

(3)∵P为棱B₁C₁的中点，∴易求得P(1，3，2)．

设平面PAB的一个法向量为n₁＝(x，y，z)，

得令z＝1，则n₁＝(－2，0，1)，

而平面ABA₁的一个法向量为n₂＝(1，0，0)，

由题可知二面角P ­ AB ­ A₁为锐角，

故二面角P ­ AB ­ A₁的余弦值是.