题目内容
一个三棱锥的四个顶点均在直径为
的球面上，它的三条侧棱两两垂直，若其中一条侧棱长是另一条侧棱长的2倍，则这3条侧棱长之和的最大值为（ ）A．3
B．
C．
D．
【答案】分析：设三条弦长分别为x，2x，y，求出长方体的对角线的长，用椭圆的参数方程表示x，y，推出3条弦长之和的表达式，通过三角函数的化简辅助角公式，求出最大值．
解答：解：设三条弦长分别为x，2x，y，则：x2+（2x）2+y2=6，即：5x2+y2=6，设
x=sinθ，
y=cosθ，
则这3条弦长之和=3x+y=
sinθ+
cosθ=
sin（θ+φ），其中tanφ=
，所以它的最大值为：
．
故选C．
点评：本题是中档题，考查球的内接多面体的就是问题，三角函数的化简与求值，是综合题目，考查计算能力，空间想象能力．
解答：解：设三条弦长分别为x，2x，y，则：x2+（2x）2+y2=6，即：5x2+y2=6，设
x=sinθ，y=cosθ，则这3条弦长之和=3x+y=
sinθ+cosθ=sin（θ+φ），其中tanφ=，所以它的最大值为：．故选C．
点评：本题是中档题，考查球的内接多面体的就是问题，三角函数的化简与求值，是综合题目，考查计算能力，空间想象能力．
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