Question

函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），且满足对任意非零实数x₁，x₂都有f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）若f（4）=1，且f（x）在（0，+∞）为增函数，求满足f（2x-6）≤2成立的x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）用特殊值法，在f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）中，令x₁=x₂=1，可得f（1）=f（1）+f（1），即可得答案；
（2）在f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）中，令x₁=x₂=-1，可得f（1）=f（-1）+f（-1），有（1）可得f（-1）=0，进而在f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）中，令x₁=-1，x₂=x，可得f（-x）=f（-1）+f（x），即可得答案；
（3）根据题意，由函数的定义域可得2x-6≠0，解可得x≠3，在f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）中，令x₁=x₂=4，可得f（16）=2，则f（2x-6）≤2可以变形为f（2x-6）≤f（16），结合函数的单调性可得|2x-6|≤16，解可得x的范围，结合x≠3，可得答案．

解答：解：（1）在f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）中，令x₁=x₂=1，可得f（1）=f（1）+f（1），即f（1）=0，
（2）在f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）中，令x₁=x₂=-1，可得f（1）=f（-1）+f（-1），
又由f（1）=0，可得f（-1）=0，
在f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）中，令x₁=-1，x₂=x，可得f（-x）=f（-1）+f（x），即f（-x）=f（x），
则f（x）为偶函数；
（3）根据题意，对于f（2x-6），有2x-6≠0，则x≠3，
在f（x₁x₂）=f（x₁）+f（x₂）中，令x₁=x₂=4，可得f（16）=f（4）+f（4）=2，
f（2x-6）≤2⇒f（2x-6）≤f（16），
又由f（x）在（0，+∞）为增函数，则有|2x-6|≤16，
解可得，-5≤x≤11，又由x≠3，
则x的取值范围是[-5，3）∪（3，11]．

点评：本题考查抽象函数的应用，解（3）注意函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），必有2x-6≠0，这是易错点．