Question

下列几个命题：①不等式

3

x-1

＜x+1的解集为{x|x＜-2，或x＞2}；②已知a，b均为正数，且

1

a

+

4

b

=1，则a+b的最小值为9；③已知x，y均为正数，且x+3y-2=0，则3^x+27^y+1的最小值为7；其中正确的有

 

．（以序号作答）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：①不等式

3

x-1

＜x+1化为（x+2）（x-1）（x-2）＞0，利用“穿根法”解得x＞2或-2＜x＜1，即可判断出；
②由于a，b均为正数，且

1

a

+

4

b

=1，变形为a+b=（a+b）(

1

a

+

4

b

)=5+

b

a

+

4a

b

，再利用基本不等式的性质即可得出；
③由于x，y均为正数，且x+3y-2=0，利用基本不等式的性质可得3^x+27^y+1≥2

3x•33y

+1，即可得出．

解答： 解：①不等式

3

x-1

＜x+1化为（x+2）（x-1）（x-2）＞0，解得x＞2或-2＜x＜1，因此解集为{x|-2＜x＜1，或x＞2}，故不正确；
②∵a，b均为正数，且

1

a

+

4

b

=1，∴a+b=（a+b）(

1

a

+

4

b

)=5+

b

a

+

4a

b

≥5+2

b a × 4a b

=9，当且仅当b=2a=6时取等号，因此最小值为9，正确；
③∵x，y均为正数，且x+3y-2=0，∴3^x+27^y+1≥2

3x•33y

+1=2

32

+1=7，当且仅当x=3y=1时取等号，因此其最小值为7，正确．
综上可得：其中正确的有 ②③．
故答案为：②③．

点评：本题考查了“穿根法”解不等式、基本不等式的性质、简易逻辑的判定，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．