Question

【题目】如图，已知椭圆的左、右顶点分别为，上、下顶点分别为，两个焦点分别为， ，四边形的面积是四边形的面积的2倍.

（1）求椭圆的方程；

（2）过椭圆的右焦点且垂直于轴的直线交椭圆于两点， 是椭圆上位于直线两侧的两点.若，求证：直线的斜率为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】试题分析：(1) 因为,所以，①由四边形的面积是四边形的面积的2倍，可得.② 联立 ①② 解出a,b,c（2）由（1）易知点的坐标分別为若，所以直线的斜率之和为0. 设直线的斜率为，则直线的斜率为， ，

直线的方程为，由 可得，∴，同理直线的方程为，

可得，∴，

把上边式子代入即得解.

试题解析：

（1）因为,所以，①

由四边形的面积是四边形的面积的2倍，

可得.②

由①可得，所以，所以.

所以椭圆的方程为.

（2）由（1）易知点的坐标分別为若，所以直线的斜率之和为0.

设直线的斜率为，则直线的斜率为， ，

直线的方程为，由

可得，∴，

同理直线的方程为，

可得，∴，

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