Question

【题目】定义在R上的函数f（x）满足：如果对任意的x1，x2∈R，都有f（），则称函数f（x）是R上的凹函数，已知二次函数f（x）＝ax2+x（a∈R，a≠0）

（1）当a＝1，x∈[﹣2，2]时，求函数f（x）的值域；

（2）当a＝1时，试判断函数f（x）是否为凹函数，并说明理由；

（3）如果函数f（x）对任意的x∈[0，1]时，都有|f（x）|≤1，试求实数a的范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）凹函数；见解析（3）[﹣2，0]．

【解析】

(1)根据二次函数的图像与性质求解即可.

(2)根据凹函数的定义求解的正负判断即可.

(3)分情况去绝对值,再参变分离求解范围即可.

（1）当a＝1时，，

由二次函数的图象及性质可知，，f（x）max＝f（2）＝6，即所值域为；

（2）当a＝1时，函数f（x）是凹函数，此时f（x）＝x2+x，

，，

作差得到：

，

即有f（），故函数f（x）＝x2+x是凹函数；

（3）由﹣1≤f（x）＝ax2+x≤1，则有，即，

（i）当x＝0时，则a∈R恒成立；

（ii）当x∈（0，1]时，有，即，

又x∈（0，1]，则，

∴当时，，，

∴实数a的取值范围为[﹣2，0]．