题目内容
已知抛物线C：y2=4x的对称轴上一点A（a，0）（a＞0），过点A的直线l交抛物线于M、N两点．（1）若抛物线C上到点A最近的点恰为抛物线的顶点（0，0），求a的取值范围；
（2）设直线OM的斜率为kOM，直线ON的斜率为kON，若kOM•kON=-2，求a的值．
分析：（I）设抛物线上任意一点P（x，y），则PA2=（x-a）2+4x=[x-（a-2）]2+4a-4，由0＜a≤2结合二次函数的性质可求
（II）设直线l：x=ty+a代入y2=4x得：y2-4ty-4a=0
设M（x1，y1），N（x2，y2）则y1+y2=4t，y1y2=-4a，代入KOM•KON=
•
=
可求a
（II）设直线l：x=ty+a代入y2=4x得：y2-4ty-4a=0
设M（x1，y1），N（x2，y2）则y1+y2=4t，y1y2=-4a，代入KOM•KON=
| y1 |
| x1 |
| y2 |
| x2 |
| y1y2 |
| (ty1+a)(ty2+a) |
解答：解：（I）设抛物线上任意一点P（x，y）
则PA2=（x-a）2+4x=[x-（a-2）]2+4a-4
由条件可知，a-2≤0，∴0＜a≤2
（II）设直线l：x=ty+a代入y2=4x得：y2-4ty-4a=0
设M（x1，y1），N（x2，y2）则y1+y2=4t，y1y2=-4a
∴KOM•KON=
•
=
=
=
=-2
∴a=2
则PA2=（x-a）2+4x=[x-（a-2）]2+4a-4
由条件可知，a-2≤0，∴0＜a≤2
（II）设直线l：x=ty+a代入y2=4x得：y2-4ty-4a=0
设M（x1，y1），N（x2，y2）则y1+y2=4t，y1y2=-4a
∴KOM•KON=
| y1 |
| x1 |
| y2 |
| x2 |
| y1y2 |
| (ty1+a)(ty2+a) |
| y1y2 |
| t2y1y2+at(y1+y2)+a2 |
| 4a |
| -a2 |
∴a=2
点评：本题以抛物线的为载体考查了二次函数的性质，要注意0＜a≤2的条件的限制，（2）主要考查了方程的根与系数关系的应用，体现出函数与方程的相互转化的思想在解题中的应用．
练习册系列答案
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