Question

城市的空气质量以其空气质量指数API（为整数）衡量，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显．根据空气质量指数API的不同，可将空气质量分级如下表：

API	0～50	51～100	101～150	151～200	201～250	251～300	＞300
状况	优	良	轻微污染	轻度污染	中度污染	中度重污染	重度污染

为了了解某城市2011年的空气质量情况，现从该城市一年空气质量指数API的监测数据库中，用简单随机抽样方法抽取30个空气质量指数API进行分析，得到如下数据：

API分组	[41，51）	[51，61）	[61，71）	[71，81）	[81，91）	[91，101）	[101，111]
频数	2	1	4	6	10	5	2

（Ⅰ）完成下面频率分布直方图，并求质量指数API的中位数大小；
（Ⅱ）估计该城市一年中空气质量为优良的概率；
（Ⅲ）请你依据所给数据和上述分级标准，对该城市的空气质量给出一个简短评价．

Answer 1

分析：（I）由已知中的API分组的频数，结合频率=

频数

样本容量

可求出各组的频率，再由频率分布直方图中，矩形的高=

频率

组距

，求出各组矩形的高，进而可画出满足条件的频率分布直方图；
（II）由已知统计出满足条件的频数，结合频率=

频数

样本容量

，可得答案；
（III）本小题是一个开放型题目，可以结合样本数据估计该市一年中空气质量优良的概率P=0.933及样本数据该市样本API在80以上的接近轻微污染的样本数有15个，加上处于轻微污染的样本数有17个，占样本数的

17

30

，超过50%，进行说明．

解答：解：（1）频率分布直方图如下图所示：

设质量指数API的中位数为x，
则

2

30

+

1

30

+

4

30

+

6

30

+

10

300

×（x-81）=

1

2

解得x=83…6分
（II）由统计图表知，样本API数据在0～100间的有28个，样本容量为30
∴样本中API数据在0～100之间的频率f=

28

30

=0.933，
故由频率估计该城市一年空气质量优良的概率P=0.933．---------（9分）
（Ⅲ）（答对下面的一条即可）
①由样本数据估计该市一年中空气质量优良的概率P=0.933．也就是一年中处于优或良的天数大约有341天，说明该城市空气质量基本良好．
②由样本数据该市样本API在80以上的接近轻微污染的样本数有15个，加上处于轻微污染的样本数有17个，占样本数的

17

30

，超过50%，说明该市一年有超过50%的天数空气质量接近轻微污染或处于轻微污染，因此该市的空气质量有待进一步改善．----------------（12分）

点评：本题考查的知识点是用样本的频率分布估计总体分布，频率分布直方图，其中熟练掌握频率=

频数

样本容量

，矩形的高=

频率

组距

，是解答本题的关键．