题目内容
设f（x）=x2+ax是R上的偶函数．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）用定义证明：f（x）在（0，+∞）上为增函数．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）用定义证明：f（x）在（0，+∞）上为增函数．
分析：（I）由f（x）是偶函数，即f（-x）=f（x），求得a的值；
（Ⅱ）用定义证明f（x）的单调性，基本步骤是：取值，作差，判正负，下结论．
（Ⅱ）用定义证明f（x）的单调性，基本步骤是：取值，作差，判正负，下结论．
解答：解：（I）对任意的x∈R，-x∈R，
∴f（-x）=（-x）2+a（-x），
即f（-x）=x2-ax，
又f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x），
即x2-ax=x2+ax，
∴-a=a，即a=0；
（ II）由（I）知f（x）=x2，任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=x12-x22=（x1+x2）（x1-x2），
∵x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2
∴x2+x1＞0，x1-x2＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2）；
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
∴f（-x）=（-x）2+a（-x），
即f（-x）=x2-ax，
又f（x）是偶函数，∴f（-x）=f（x），
即x2-ax=x2+ax，
∴-a=a，即a=0；
（ II）由（I）知f（x）=x2，任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
则f（x1）-f（x2）=x12-x22=（x1+x2）（x1-x2），
∵x1，x2∈（0，+∞），x1＜x2
∴x2+x1＞0，x1-x2＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2）；
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
点评：本题考查了函数奇偶性的应用与单调性的判定问题，是基础题．
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