Question

（2012•道里区二模）函数f（x）=（sinx+cosx）²-2cos²x-m在[0，

π

2

]上有零点，则实数m的取值范围是（　　）

• A．[-1，1]
• B．[1，

  2

  ]
• C．[-1，

  2

  ]
• D．[-

  2

  ，1]

Answer 1

分析：函数f（x）=（sinx+cosx）²-2cos²x-m在[0，

π

2

]上有零点，（sinx+cosx）²-2cos²x-m=0在[0，

π

2

]上有解，求出函数的值域，即可得到结论．

解答：解：∵函数f（x）=（sinx+cosx）²-2cos²x-m在[0，

π

2

]上有零点，
∴（sinx+cosx）²-2cos²x-m=0在[0，

π

2

]上有解
令y=（sinx+cosx）²-2cos²x=1+sin2x-1-cos2x=

2

sin（2x-

π

4

），
∵x∈[0，

π

2

]，∴2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]
∴sin（2x-

π

4

）∈[-

2

2

，1]，
∴y∈[-1，

2

]
∴实数m的取值范围是[-1，

2

]
故选C．

点评：本题考查函数的零点的定义，函数的零点与方程的根的关系，体现了转化的数学思想，属于基础题．