题目内容

在矩形ABCD中，AB=
3
，BC=1，E是CD上一点，且
AE
•
AB
=1，则
AE
•
AC
的值为（　　）
分析：设
DE
=λ
AB
，可得
AE
=
AD
+λ
AB
，代入
AE
•
AB
=1算出λ=
1
3
，从而得到
AE
关于
AD
、
AB
表示式，再由
AC
=
AD
+
AB
，代入
AE
•
AC
结合题中数据即可算出
AE
•
AC
的值．
解答：解：设
DE
=λ
DC
，即
DE
=λ
AB

∵
AE
=
AD
+
DE
=
AD
+λ
AB

∴
AE
•
AB
=1即（
AD
+λ
AB
）
AB
=1
∵AD、AB互相垂直，可得
AD
•
AB
=0
∴（
AD
+λ
AB
）
AB
=λ
AB
2=3λ=1，解之得λ=
1
3

由此可得
DE
=
1
3
AB
，
AE
=
AD
+
1
3
AB

∵
AC
=
AD
+
AB

∴
AE
•
AC
=（
AD
+
1
3
AB
）（
AD
+
AB
）=
AD
2+
4
3
AD
•
AB
+
1
3
AB
2=12+
1
3
×(
3
)2=2
故选：B
点评：本题在矩形中，已知边AB、AD的长度和点E分DC的比值，求向量
AE
、
AC
的数量积．着重考查了平面向量数量积的定义及运算性质等知识，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
如图，在矩形ABCD中，AB=3
3
，BC=3，沿对角线BD将BCD折起，使点C移到点C′，且C′在平面ABD的射影O恰好在AB上
（1）求证：BC′⊥面ADC′；
（2）求二面角A-BC′-D的正弦值．
如图，在矩形ABCD中，已知AD=2，AB=a（a＞2），E、F、G、H分别是边AD、AB、BC、CD上的点，若AE=AF=CG=CH，问AE取何值时，四边形EFGH的面积最大？并求最大的面积．

如图，已知在矩形ABCD中，A(－4，4)、D(5，7)，其对角线的交点E在第一象限内且与y轴的距离为一个单位，动点P(x，y)沿矩形一边BC运动，求的取值范围．
如图1-5-5,在矩形ABCD中,过A作对角线BD的垂线AP与BD交于P,过P作BC、CD的垂线PE、PF,分别与BC、CD交于E、F.

图1-5-5

求证:AP3=BD·PE·PF.

如图所示,已知在矩形ABCD中,||=.设=a, =b, =c,求|a+b+c|.

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