题目内容

已知向量
a
=(sin
x
3
，
3
cos
x
3
)，
b
=(1，1)，函数f(x)=
a
•
b
cos
x
3
．
（1）将f（x）写成Asin（ωx+φ）+B的形式，并求其图象的对称中心；
（2）如果△ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对的角为x，试求x的取值范围及此时函数f（x）的值域．
（1）f（x）=sin
x
3
cos
x
3
+
3
cos2
x
3

=
1
2
sin
2x
3
+
3
2
（1+cos
2x
3
）
=
1
2
sin
2x
3
+
3
2
cos
2x
3
+
3
2

=sin（
2x
3
+
π
3
）+
3
2
，
令sin（
2x
3
+
π
3
）=0，即
2x
3
+
π
3
=kπ（k∈Z），解得x=
3k-1
2
π（k∈Z），
则对称中心为（
3k-1
2
π，
3
2
）（k∈Z）；
（2）∵b2=ac，
∴根据余弦定理得：cosx=
a2+c2-b2
2ac
=
a2+c2-ac
2ac
≥
2ac-ac
2ac
=
1
2
，
∴
1
2
≤cosx＜1，即0＜x≤
π
3
，
∴
π
3
＜
2x
3
+
π
3
≤
5π
9
，
∵|
π
3
-
π
2
|＞|
5π
9
-
π
2
|，
∴sin
π
3
＜sin（
2x
3
+
π
3
）≤1，
∴
3
＜sin（
2x
3
+
π
3
）+
3
2
≤1+
3
2
，
则x∈（0，
π
3
]时，函数f（x）的值域为（
3
，1+
3
2
]．
练习册系列答案
相关题目
已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表达式．
（2）用“五点作图法”画出函数f（x）在一个周期上的图象．
（3）写出f（x）在[-π，π]上的单调递减区间．
（4）设关于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根为x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．
已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，则sin2θ+cos2θ的值为（　　）
已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此结论求|
a
+
b
|的最大值．
已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五点法”作出函数y=f（x）在长度为一个周期的闭区间的图象．
②求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
③求函数f（x）的最大值，并求出取得最大值时自变量x的取值集合
④函数f（x）的图象可以由函数y=sin2x（x∈R）的图象经过怎样的变换得到？
⑤当x∈[0，π]，求函数y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作图
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