Question

【题目】对于函数与常数，若恒成立，则称为函数的一个“P数对”，设函数的定义域为，且。

（1）若是的一个“P数对”，且，求常数的值；

（2）若（1，1）是的一个“P数对”，且在上单调递增，求函数在上的最大值与最小值；

（3）若（－2，0）是的一个“P数对”，且当时，，求k的值及在区间上的最大值与最小值。

Answer 1

【答案】（1）；（2）最大值，最小值；（3）详见解析.

【解析】

（1）利用f（2）＝6，f（4）＝9，建立方程组，即可求常数a，b的值；（2）根据函数的定义得到，在上单调递增，当时，当时，当时，，进而得到结果.（3）令x＝1，则f（1）＝k﹣1＝3，解得k＝4，当x∈[1，2）时f（x）＝4﹣|2x﹣3|，得出f（x）在[1，2）上的取值范围是[3，4]．利用由已知，f（2x）＝﹣2f（x）恒成立⊕，将[1，2n）分解成[2k﹣1，2k），（k∈N*）的并集，通过⊕式求出f（x）在各段[2k﹣1，2k）上的取值范围，各段上最大值、最小值即为所求的最大值，最小值．

（1）由题意知，即，

解得：；

（2）是的一个“P数对”

，故

在上单调递增，∴当时，，即

当时，

当时，

当时，

综上，当时，

故最大值6，最小值3

（3）当时，，

令，可得，解得，

所以，时，，故在上的取值范围是。

又是的一个“P数对”，故恒成立，

当时，＝…＝，

故k为奇数时，在上的取值范围是；

当k为偶数时，在上的取值范围是，

所以当n＝1时，在上的最大值为4，最小值为3；

当n为不小于3的奇数时，在上的最大值为，最小值为；

当n为不小于2的偶数时，在上的最大值为，最小值为。