Question

双曲线的中心在坐标原点O,A、C分别是双曲线虚轴的上、下顶点,B是双曲线的左顶点,F是双曲线的左焦点,直线AB与FC相交于点D,若双曲线的离心率为2,则∠BDF的余弦值是(　　)
(A)          (B)     (C)     (D)

Answer 1

C

设双曲线方程-=1(a>0,b>0),
则A(0,b),C(0,-b),B(-a,0),F(-c,0),
由e==2得c=2a,b==a,
∴直线AB方程为y=x+a,
直线FC方程为y=-x-a.
法一　由　得D(-a,-a).
∴|DF|=a,|DB|=a,
又|BF|=a.
在△BDF中,由余弦定理得
cos∠BDF==.
故选C.
法二　tan∠FBD=,tan∠DFB=,
∴tan∠BDF=tan[180°-(∠FBD+∠DFB)]
=-tan(∠FBD+∠DFB)
=-
=3.
∴cos∠BDF===.故选C.