Question

【题目】已知点是抛物线：上的一点，其焦点为点，且抛物线在点处的切线交圆：于不同的两点，.

（1）若点，求的值；

（2）设点为弦的中点，焦点关于圆心的对称点为，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）利用导数求出过点的抛物线的切线，切线与圆相交，根据弦心距、半径、弦长的关系求解即可；

（2）设点，联立切线与圆的方程消元可得一元二次方程，由韦达定理求出中点的坐标，由两点间距离公式表示出，令换元，利用函数的单调性即可求出取值范围.

设点，其中.

因为，所以切线的斜率为，于是切线：.

（1）因为，于是切线：.

故圆心到切线的距离为.

于是.

（2）联立得.

设，，.则，.

解得

又，于是.

于是，.

又的焦点，于是.

故.

令，则.于是.

因为在单调递减，在单调递增.

又当时，；当时，；

当时，.

所以的取值范围为.