题目内容
【题目】在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
，
，
，
为线段
的中点，
底面，点
是棱
的中点，平面
与棱
相交于点
．
（1）求证：
；
（2）若与
所成的角为
，求直线
与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
（1）首先证明四边形
为平行四边形，得到
，然后可得
平面
，然后由线面平行的性质定理可证
；
（2）以
为原点，
为
轴，
为
轴，
为
轴建立空间直角坐标系，设
，首先利用
与
所成的角为
求出
，然后算出平面
的法向量坐标和
的坐标，然后可算出答案.
（1）证明：因为为
中点，且
所以
，又因为
，所以
所以四边形为平行四边形
所以，因为
平面，
平面，所以平面
因为
平面
，平面
平面
所以
（2）由（1）可得
因为
，所以
，且
平面
所以以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系
设，
，
，
，
，因为与所成角为
所以
，
解得
所以
，
，
，
，
设平面得一个法向量
，可得
，可取
设直线
与平面所成的角为
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