Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且

a

c

cosB-

b

c

cosA=cos

π

3

．
（Ⅰ）若tanA=k•tanB，求k的值；
（Ⅱ）求tan（A-B）的最大值，并判断当tan（A-B）取最大值时△ABC的形状．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理化简已知的等式，变形后再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用同角三角函数间的基本关系得出tanA=3tanB，由tanA=ktanB，得出k的值为3；
（Ⅱ）由tanA=3tanB，设tanA=t（t＞0），得到tanB=3t，利用两角和与差的正切函数公式化简tan（A-B），将设出的tanA及tanB代入，整理后利用基本不等式变形求出tan（A-B）的最大值，以及此时t的值，确定出tanA和tanB的值，利用特殊角的三角函数值确定出A和B的度数，利用三角形的内角和定理求出C的度数，即可判断出三角形的形状．

解答：解：（Ⅰ）将

a

c

cosB-

b

c

cosA=cos

π

3

=

1

2

利用正弦定理化简得：

sinA

sinC

cosB-

sinB

sinC

cosA=

1

2

，即2sinAcosB-2sinBcosA=sinC，
又sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B），
∴2sinAcosB-2sinBcosA=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
整理得：sinAcosB=3sinBcosA，
∴tanA=3tanB，又tanA=ktanB，
则k=3；
（Ⅱ）设tanB=t（t＞0），则tanA=3t，
∵

1

t

+3t≥2

3

（当且仅当

1

t

=3t，即t=

3

3

时取等号），
∴tan（A-B）=

tanA-tanB

1+tanAtanB

=

3t-t

1+3t2

=

2t

1+3t2

=

2

1 t +3t

≤

3

3

，
∴tanB=t=

3

3

，tanA=3t=

3

，
∴B=

π

6

，A=

π

3

，
则C=

π

2

，即△ABC为直角三角形．

点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦、正切函数公式，诱导公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．