题目内容

设A是圆x2+y2=1上的动点，点A在x轴上的投影为B，点P在AB上，记点P的轨迹为曲线C．过原点斜率为k的直线交曲线C于M，N两点（其中M在第一象限），MG⊥x轴于点G，连接NG，直线NG交曲线C于另一点H．
（Ⅰ）若P为AB的中点，求曲线C的标准方程；
（Ⅱ）若点P满足|AB|=m|PB|（m＞0且m≠1），求曲线C的方程．并探究是否存在实数m，使得对任意k＞0，都有MN⊥MH．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（Ⅰ）设P（x，y），则A（x，2y）代入x2+y2=1能求出曲线C的标准方程．
（Ⅱ）设P（x，y），则A（x，my），代入x2+y2=1，曲线C的方程为x2+m2y2=1，由此利用点差法能求出存在实数m=
2
，使得对任意k＞0，都有MN⊥MH．
解答： 解：（Ⅰ）设P（x，y），则A（x，2y）
代入x2+y2=1得x2+4y2=1，
∴曲线C的标准方程为x2+
y2
1
4
=1…（4分）
（Ⅱ）设P（x，y），则A（x，my），代入x2+y2=1，
曲线C的方程为x2+m2y2=1…（6分）
由题意设M（x0，y0），H（x1，y1），
则N（-x0，-y0），G（x0，0），
∵N，G，H三点共线，∴kNH=kNG，
∴
y0
2x0
=
y1+y0
x1+x0
，kMN=
y0
x0
=
2(y1+y0)
x1+x0
…（7分）
又M，H在曲线C上，
∴x02+m2y02=1，x12+m2y12=1，
两式相减得：kMH=
y1-y0
x1-x0
=-
x0+x1
m2(y0+y1)
…（8分）
∴kMH•kNM=-
x0+x1
m2(y0+y1)
•
y0
x0
=-
x0+x1
m2(y0+y1)
•
2(y1+y0)
x1+x0
=-
2
m2
…（10分）
又MN⊥MH，∴kMH•kNM=-1，∴-
2
m2
=-1，
又m＞0且m≠1，∴m=
2
，
∴存在实数m=
2
，使得对任意k＞0，都有MN⊥MH． …（12分）
点评：本题考查曲线与方程、椭圆与圆的方程及简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查运算求解和分析探究问题能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．
练习册系列答案
相关题目
将正偶数按下表排成4列：

则2000在（　　）
A、第125行，第1列
B、第125行，第2列
C、第250行，第1列
D、第250行，第4列
已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）的图象如图所示．
（1）求该函数的解析式；      
（2）若g（x）=f（x-
π
8
），判断g（x）的奇偶性．
已知函数g（x）=ax，h（x）=x2-xlna-b（a＞0且a≠1，b∈R），设f（x）=g（x）+h（x）．
（Ⅰ）试判断y=f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）若函数y=g（x）-h（x）在x=0处的切线的倾斜角为锐角，且对函数f（x），?x1，x2∈[-1，1]，使得|f（x1）-f（x2）|≥e-1成立，试求a的取值范围．
已知函数f（x）=ln（x-1）-k（x-1）+1．
（1）当k=1时，求函数f（x）的最大值；
（2）若函数f（x）没有零点，求实数k的取值范围．
为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x，y的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：
编号12345
x169178166175180
y7580777081
（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；
（2）当产品中的微量元素x，y满足x≥175且y≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；
（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中恰有1件是优等品的概率．
已知函数f（x）=2sin（2x-
π
6
）-a+2（其中a为常数）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若x∈[0，
π
2
]时，f（x）的最大值为3，求a的值；
（3）求出使f（x）取最大值时x取值的集合．
已知函数y=x2，-2≤x≤a，其中a≥-2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．
已知在锐角△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，且c=2，∠C=60°，求a+b的取值范围．

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