题目内容
设A是圆x2+y2=1上的动点，点A在x轴上的投影为B，点P在AB上，记点P的轨迹为曲线C．过原点斜率为k的直线交曲线C于M，N两点（其中M在第一象限），MG⊥x轴于点G，连接NG，直线NG交曲线C于另一点H．（Ⅰ）若P为AB的中点，求曲线C的标准方程；
（Ⅱ）若点P满足|AB|=m|PB|（m＞0且m≠1），求曲线C的方程．并探究是否存在实数m，使得对任意k＞0，都有MN⊥MH．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
专题：圆锥曲线中的最值与范围问题
分析：（Ⅰ）设P（x，y），则A（x，2y）代入x2+y2=1能求出曲线C的标准方程．
（Ⅱ）设P（x，y），则A（x，my），代入x2+y2=1，曲线C的方程为x2+m2y2=1，由此利用点差法能求出存在实数m=
，使得对任意k＞0，都有MN⊥MH．
（Ⅱ）设P（x，y），则A（x，my），代入x2+y2=1，曲线C的方程为x2+m2y2=1，由此利用点差法能求出存在实数m=
| 2 |
解答：
解：（Ⅰ）设P（x，y），则A（x，2y）
代入x2+y2=1得x2+4y2=1，
∴曲线C的标准方程为x2+
=1…（4分）
（Ⅱ）设P（x，y），则A（x，my），代入x2+y2=1，
曲线C的方程为x2+m2y2=1…（6分）
由题意设M（x0，y0），H（x1，y1），
则N（-x0，-y0），G（x0，0），
∵N，G，H三点共线，∴kNH=kNG，
∴
=
，kMN=
=
…（7分）
又M，H在曲线C上，
∴x02+m2y02=1，x12+m2y12=1，
两式相减得：kMH=
=-
…（8分）
∴kMH•kNM=-
•
=-
•
=-
…（10分）
又MN⊥MH，∴kMH•kNM=-1，∴-
=-1，
又m＞0且m≠1，∴m=
，
∴存在实数m=
，使得对任意k＞0，都有MN⊥MH． …（12分）
代入x2+y2=1得x2+4y2=1，
∴曲线C的标准方程为x2+
| y2 | ||
|
（Ⅱ）设P（x，y），则A（x，my），代入x2+y2=1，
曲线C的方程为x2+m2y2=1…（6分）
由题意设M（x0，y0），H（x1，y1），
则N（-x0，-y0），G（x0，0），
∵N，G，H三点共线，∴kNH=kNG，
∴
| y0 |
| 2x0 |
| y1+y0 |
| x1+x0 |
| y0 |
| x0 |
| 2(y1+y0) |
| x1+x0 |
又M，H在曲线C上，
∴x02+m2y02=1，x12+m2y12=1，
两式相减得：kMH=
| y1-y0 |
| x1-x0 |
| x0+x1 |
| m2(y0+y1) |
∴kMH•kNM=-
| x0+x1 |
| m2(y0+y1) |
| y0 |
| x0 |
| x0+x1 |
| m2(y0+y1) |
| 2(y1+y0) |
| x1+x0 |
| 2 |
| m2 |
又MN⊥MH，∴kMH•kNM=-1，∴-
| 2 |
| m2 |
又m＞0且m≠1，∴m=
| 2 |
∴存在实数m=
| 2 |
点评：本题考查曲线与方程、椭圆与圆的方程及简单的几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查运算求解和分析探究问题能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．
练习册系列答案
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将正偶数按下表排成4列：
则2000在（ ）
则2000在（ ）
| A、第125行，第1列 |
| B、第125行，第2列 |
| C、第250行，第1列 |
| D、第250行，第4列 |
已知函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（A＞0，ω＞0，0＜ϕ＜π）的图象如图所示．