题目内容

已知以第二象限内点P为圆心的圆经过点A（-1，0）和 B（3，4），半径为2 $数学公式$ ．
（1）求圆P的方程；
（2）设点Q在圆P上，试问使△QAB的面积等于8的点Q共有几个？证明你的结论．

解：（1）直线AB的斜率k=1，AB中点坐标为（1，2）
∴圆心在直线x+y-3=0 上（3分）
设圆心P（a，b），得：a+b-3=0 ①
又半径为 $\text{[math]}$ ，（a+1）²+b²=40 ②（6分）
由①②解得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ （舍去）
∴圆心P（-3，6）
∴圆P的方程为（x+3）²+（y-6）²=40 （8分）
（2） $\text{[math]}$
∴当△QAB面积为8时，点Q到直线AB的距离为 $\text{[math]}$ （12分）
又圆心P到直线AB的距离为 $\text{[math]}$ ，圆P的半径为 $\text{[math]}$ ，
且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$
∴圆上共有两个点Q使△QAB的面积为8．（14分）
分析：（1）由圆的性质可知，直径垂直于直线AB且过AB的中点，从而可求直径所在的直线方程，据此可设P（a，b）再由PA= $\text{[math]}$ 代入可求P，进而可求圆的方程
（2）由题意可求AB= $\text{[math]}$ ，当△QAB面积为8时，点Q到直线AB的距离为 $\text{[math]}$ ，结合P到直线的距离及半径可进行判断点的个数
点评：本题主要考查了利用圆的性质求解圆的方程，点到直线的距离公式的应用，属于圆的性质的综合考查．