Question

已知以第二象限内点P为圆心的圆经过点A（-1，0）和 B（3，4），半径为2

10

．
（1）求圆P的方程；
（2）设点Q在圆P上，试问使△QAB的面积等于8的点Q共有几个？证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）由圆的性质可知，直径垂直于直线AB且过AB的中点，从而可求直径所在的直线方程，据此可设P（a，b）再由PA=2

10

代入可求P，进而可求圆的方程
（2）由题意可求AB=2

2

，当△QAB面积为8时，点Q到直线AB的距离为2

2

，结合P到直线的距离及半径可进行判断点的个数

解答：解：（1）直线AB的斜率k=1，AB中点坐标为（1，2）
∴圆心在直线x+y-3=0  上                     （3分）
设圆心P（a，b），得：a+b-3=0        ①
又半径为2

10

，（a+1）²+b²=40 ②（6分）
由①②解得

a=-3 b=6

或 

a=5 b=-2

（舍去）
∴圆心P（-3，6）
∴圆P的方程为（x+3）²+（y-6）²=40  （8分）
（2）AB=

42+42

=4

2

∴当△QAB面积为8时，点Q到直线AB的距离为2

2

  （12分）
又圆心P到直线AB的距离为4

2

，圆P的半径为2

10

，
且 4

2

+2

2

＞2

10

，2

10

-4

2

＜2

2

∴圆上共有两个点Q使△QAB的面积为8．（14分）

点评：本题主要考查了利用圆的性质求解圆的方程，点到直线的距离公式的应用，属于圆的性质的综合考查．