Question

已知f（x）=sin（x+φ）cosx（φ为常数）的图象关于原点对称，且．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调增区间．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据f（x）的图象关于原点对称得到f（x）=-f（-x），再由两角和与差的正弦公式展开化简，再根据正弦函数的性质确定φ的范围，最后根据确定φ的值，进而可得到f（x）的解析式．
（2）令，求出x的范围即可得到答案．
解答：解：（1）∵f（x）的图象关于原点对称，∴f（x）=-f（-x）恒成立，
即sin（x+φ）cosx=-sin（-x+φ）cos（-x）恒成立．
∴cosx[sin（x+φ）-sin（x-φ）]=0恒成立，
∴2cos²xsinφ=0恒成立．
∴sinφ=0，∴φ=kπ（k∈Z），
∴f（x）=sin（x+kπ）cosx（k∈Z）．
又，
∴或（n∈Z）．
∴k=2n或（舍去，∵k∈Z），∴k=2n（n∈Z）．
∴．
（2）令，得
∴f（x）的单调增区间．
点评：处理三角函数性质的综合题，要求掌握好三角的恒等变形及三角式的求值等方面的知识．考查综合能力，转化与化归思想，以及分析问题和解决问题的能力．