Question

空间四边形ABCD中,AB=CD,AB与CD成30°角,E、F分别为BC、AD的中点,求EF和AB所成的角.

Answer 1

思路分析:根据定义,找到两异面直线所成的角是关键,而解决立体几何问题的基本思想是将立体问题转化为平面问题,由此可选取BC或AD的中点.

图2-1-13

解:如图2-1-13所示,取BD的中点G,连结EG、FG.

∵E、F分别为BC、AD的中点,

∴EGCD,GFAB.

∴EG与GF所成的角即为AB与CD所成的角.

∵AB=CD,∴△EFG为等腰三角形.

又AB、CD成30°角,EG、FG分别为△BCD、△DAB的中位线,

∴∠EGF=30°.

∵∠GFE就是EF与AB所成的角,

∴EF与AB成75°角.

  绿色通道:(1)求异面直线所成的角关键在于将异面直线平移成相交直线.

(2)构造异面直线所成角的方法常有:①过其中一条直线上的已知点(往往是特殊点),作另一条直线的平行线,使异面直线所成角转化为相交直线所成的角(空间问题转化为平面问题);

②当异面直线依附于某几何体,且直接对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,将两条异面直线分别平移相交于该点;

③通过构造辅助平面、辅助几何体来平移直线.

(3)求两异面直线所成的角的一般步骤:

①构造:根据所成角的定义,用平移法作出异面直线所成的角;

②证明:证明作出的角就是要求的角;

③计算:求角值,常利用三角形;

④结论.

也可用“一作”“二证”“三求解”来概括.

  黑色陷阱:平移直线得出的角有可能是两条异面直线所成角的补角,要注意识别这种情况.