Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n+1=3a_n+4（n∈N^*）
（1）求证：数列{a_n+2}是等比数列；
（2）设b_n=na_n（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项的和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n+1=3a_n+4，得a_n+1+2=3（a_n+2），从而可判断{a_n+2}是以3为首项，3为公比的等比数列；
（2）求出数列的通项，利用错位相减法，即可求数列{b_n}的前n项的和T_n．

解答： 解：（1）∵a_n+1=3a_n+4，∴a_n+1+2=3（a_n+2），…（3分）
又∵a₁=1，∴a₁+2=3≠0，
∴数列{a_n+2}是以3为首项，3为公比的等比数列     …（6分）
（2）由（1）得  a_n+2=3×3^n-1=3ⁿ
∴a_n=3ⁿ-2，
b_n=n•a_n=n•3ⁿ-2n  …（8分）
∴T_n=（1×3¹-2×1）+（2×3²-2×2）+…+（n•3ⁿ-2n）
=1×3¹+2×3²+…+n•3ⁿ-2（1+2+…+n）
=1×3¹+2×3²+…+n•3ⁿ-2×

n(n+1)

2

=1×3¹+2×3²+…+n•3ⁿ-n²-n  …（10分）
记S_n=1×3¹+2×3²+…+n•3ⁿ
则3S_n=1×3²+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹
∴S_n-3S_n=（3¹+3²+…+3ⁿ）-n•3ⁿ⁺¹
=

3(1-3n)

1-3

-n•3ⁿ⁺¹
=

-(2n-1)•3n+1-3

2

∴S_n=

(2n-1)•3n+1+3

4

   …（12分）
∴T_n=

(2n-1)•3n+1+3

4

-n²-n．…（13分）

点评：本题考查由数列递推公式求数列通项，考查等比数列的证明，考查错位相减法的运用，属中档题．