Question

（选修4-5：不等式选讲）
已知函数f（x）=|x+1|+|x-2|．若不等式|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）（a≠0，a、b∈R）恒成立，求实数x的范围．

Answer 1

【答案】分析：由题意可得 ≥f（x），而由绝对值不等式的性质可得的最小值为2，故2≥f（x）．由绝对值的意义可得|x+1|+|x-2|≤2不可能成立，由此可得到实数x的范围．
解答：解：由|a+b|+|a-b|≥|a|f（x）（a≠0，a、b∈R）恒成立，得 ≥f（x）．…（3分）
又因为 ≥=2，则有2≥f（x）．…（6分）
不等式即|x+1|+|x-2|≤2，由于|x+1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到-1和2对应点的距离之和，其最小值为3，
故|x+1|+|x-2|≤2不可能，故实数x的范围为∅．…（10分）
点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的性质，函数的恒成立问题，属于中档题．