Question

已知函数f（x）=x³-x，其图象记为曲线C．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）证明：若对于任意非零实数x₁，曲线C与其在点P₁（x₁，f（x₁））处的切线交于另一点P₂（x₂，f（x₂）），曲线C与其在点P₂（x₂，f（x₂））处的切线交于另一点P₃（x₃，f（x₃）），线段P₁P₂，P₂P₃与曲线C所围成封闭图形的面积分别记为S₁，S₂，则

S1

S2

为定值．

Answer 1

（1）由f（x）=x³-x得f′（x）=3x²-1=3(x-

3

3

)(x+

3

3

)，
当x∈(-∞，-

3

3

)和(

3

3

，+∞)时，f′（x）＞0；
当x∈(-

3

3

，

3

3

)时，f′（x）＜0，
因此，f（x）的单调递增区间为(-∞，-

3

3

)和(

3

3

，+∞)，单调递减区间为(-

3

3

，

3

3

)．
（2）曲线C与其在点P₁处的切线方程为y=（3x₁²-1）（x-x₁）+x₁³-x₁，即
即y=（3x₁²-1）x-2x₁³，由

y=(3 x 31 -1)x-2 x 31   y=x3-x

解得x=x₁或x=-2x₁故x₂=-2x₁，进而有
S₁=|

∫

-2x1x1

（x³-3x₁³x+2x₁³）dx|=

27

4

x

41

，用x₂代替x₁，重复上述计算过程，可得
x₃=-2x₂和S2=

27

4

x

42

，又x₂=-2x₁≠0，所以S₂≠0，因此有

S1

S2

=

1

16