题目内容
【题目】已知数列{an}前n项的和为Sn ， 满足a1=0，an≥0，3an+12=an2+an+1（n∈N*） （Ⅰ）用数学归纳法证明：1 
≤an＜1（n∈N*）
（Ⅱ）求证：an＜an+1（n∈N*）
【答案】证明：（I）当n=1时，显然结论成立；
假设n=k时，结论成立，即1﹣ 
≤ak＜1，
则3ak+12=ak2+ak+1＜3，
由ak+1≥0，∴ak+1＜1，
又ak≥1﹣ ，
∴3ak+12=ak2+ak+1≥（1﹣ ）2+（1﹣ ）+1= 
﹣ 
+3，
ak+12≥1﹣ + 
＞1﹣ 
+ 
=（1﹣ 
）2，
∴ak+1＞1﹣ ，
∴当n=k+1时，结论成立，
∴1 
≤an＜1（n∈N*）．
（II）3an+12﹣3an2=﹣2an2+an+1=﹣2（an﹣ 
）2+ 
，
由（1）可知0≤an＜1，
∴﹣2（an﹣ ）2+ ＞0，
∴3an+12﹣3an2＞0，
∴an＜an+1
【解析】（I）验证n=1结论成立，假设n=k结论成立，利用不等式的性质推导n=k+1时结论成立即可；（II）使用作差法和二次函数的性质得出结论．
【考点精析】认真审题，首先需要了解数列的通项公式(如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式)．
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