题目内容

已知椭圆 $数学公式$ （a＞b＞0）和直线L： $数学公式$ =1，椭圆的离心率 $数学公式$ ，直线L与坐标原点的距离为 $数学公式$ ．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆相交于C、D两点，试判断是否存在k值，使以CD为直径的圆过定点E？若存在求出这个k值，若不存在说明理由．

解：（1）∵直线L： $\text{[math]}$ =1与坐标原点的距离为 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．①…（2分）
∵椭圆的离心率 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ．②…（4分）
由①得4a²b²=3a²+3b²，即4a²（a²-c²）=3a²+3（a²-c²）③
由②③得a²=3，c²=2
∴b²=a²-c²=1
∴所求椭圆的方程是 $\text{[math]}$ +y²=1…（6分）
（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，消去y可得：（1+3k²）x²+12kx+9=0
∴△=36k²-36＞0，∴k＞1或k＜-1…（8分）
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则有x₁+x₂= $\text{[math]}$ ，x₁x₂= $\text{[math]}$ …（10分）
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，且以CD为圆心的圆过点E，
∴EC⊥ED…（12分）
∴（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0
∴（1+k²）x₁x₂+（2k+1）（x₁+x₂）+5=0
∴（1+k²）× $\text{[math]}$ +（2k+1）× $\text{[math]}$ +5=0，解得k= $\text{[math]}$ ＞1，
∴当k= $\text{[math]}$ 时以CD为直径的圆过定点E…（14分）
分析：（1）利用直线L： $\text{[math]}$ =1与坐标原点的距离为 $\text{[math]}$ ，椭圆的离心率 $\text{[math]}$ ，建立方程，求出椭圆的几何量，即可求得椭圆的方程；
（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，利用韦达定理及CD为圆心的圆过点E，利用数量积为0，即可求得结论．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，解题的关键是联立方程，利用韦达定理求解．