Question

已知

3π

4

＜α＜π，tanα+cotα=-

10

3

（Ⅰ）求tanα的值；
（Ⅱ）求

5sin2 α 2 +8sin α 2 cos α 2 +11cos2 α 2 -8

2 sin(α- π 2 )

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用同角三角函数的基本关系，把等式转化成关于tanα的一元二次方程，求得tanα的值，最后利用α的范围求得答案．
（Ⅱ）利用二倍角公式对原式进行化简整理，然后分子分母同时除以cosα的值，最后把（1）中tanα的值代入即可求得答案．

解答：解：（Ⅰ）由tanα+cotα=-

10

3

得3tan²α+10tanα+3=0，
即tanα=-3或tanα=-

1

3

，又

3π

4

＜α＜π，
所以tanα=-

1

3

为所求．

（Ⅱ）

5sin2 α 2 +8sin α 2 cos α 2 +11cos2 α 2 -8

2 sin(α- π 2 )

=

5 1-cosα 2 +4sinα+11 1+cosα 2 -8

- 2 cosα

=

5-5cosα+8sinα+11+11cosα-16

-2 2 cosα

=

8sinα+6cosα

-2 2 cosα

=

8tanα+6

-2 2

=-

5 2

6

．

点评：本题主要考查了二倍角公式的化简求值和同角三角函数的基本关系的运用．要能熟练记忆同角三角函数关系中的倒数关系，商数关系和平方关系等．