题目内容

已知点列B1（1，y1），B2（2，y2），…，Bn（n，yn），…（n∈N*）顺次为直线上的点，点列A1（x1，0），A2（x2，0），…，An（xn，0），…（n∈N*）顺次为x轴上的点，其中x1=a（0＜a＜1），对任意的n∈N*，点An、Bn、An+1构成以Bn为顶点的等腰三角形．
（1）证明：数列{yn}是等差数列；
（2）求证：对任意的n∈N*，xn+2-xn是常数，并求数列{xn}的通项公式；
（3）对上述等腰三角形AnBnAn+1添加适当条件，提出一个问题，并做出解答．（根据所提问题及解答的完整程度，分档次给分）
【答案】分析：（1）根据Bn（n，yn）在直线上可得，然后根据等差数列的定义可知数列{yn}是等差数列；
（2）由题意得，则xn+xn+1=2n，根据递推关系又有xn+2+xn+1=2（n+1）两式作差可得xn+2-xn是常数，从而x1，x3，x5，…；x2，x4，x6，…都是等差数列，即可求出数列{xn}的通项公式；
（3）提出问题：若等腰三角形AnBnAn+1中，是否有直角三角形，若有，求出实数a．讨论n的奇偶，求出|AnAn+1|，过Bn作x轴的垂线，垂足为Cn，则，要使等腰三角形AnBnAn+1为直角三角形，必须且只须：|AnAn+1|=2|BnCn|，从而求出a的值．
解答：解：（1）依题意有，于是．
所以数列{yn}是等差数列．（4分）
（2）由题意得，即xn+xn+1=2n，（n∈N*）         ①
所以又有xn+2+xn+1=2（n+1）．②
由②-①得：xn+2-xn=2，所以xn+2-xn是常数． （6分）
由x1，x3，x5，…；x2，x4，x6，…都是等差数列．x1=a（0＜a＜1），x2=2-a，那么得 
 x2k-1=x1+2（k-1）=2k+a-2，x2k=x2+2（k-1）=2-a+2（k-1）=2k-a．（k∈N*）（8分）
故（10分）
（3）提出问题：若等腰三角形AnBnAn+1中，是否有直角三角形，若有，求出实数a．
解：当n为奇数时，An（n+a-1，0），An+1（n+1-a，0），所以|AnAn+1|=2（1-a）；
当n为偶数时，An（n-a，0），An+1（n+a，0），所以|AnAn+1|=2a；
过Bn作x轴的垂线，垂足为Cn，则，要使等腰三角形AnBnAn+1为直角三角形，必须且只须：|AnAn+1|=2|BnCn|．（13分）
当n为奇数时，有，即①
∴，当n≥5，a＜0不合题意．（15分）
当n为偶数时，有，，同理可求得 
 
当n≥4时，a＜0不合题意．（17分）
综上所述，使等腰三角形AnBnAn+1中，有直角三角形，a的值为或或．（18分）
点评：本题主要考查了数列与几何的综合，同时考查了数列的通项公式，第三问是开放题，有一定的新意，属于中档题．
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（1）证明：数列{yn}是等差数列；
（2）求证：对任意的n∈N*，xn+2-xn是常数，并求数列{xn}的通项公式；
（3）对上述等腰三角形AnBnAn+1添加适当条件，提出一个问题，并做出解答．（根据所提问题及解答的完整程度，分档次给分）
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2
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4
3
．

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