Question

15．已知向量$\overrightarrow{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（sinx，sinx），$\overrightarrow{c}$=（-1，0）．
（1）求函数f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的周期和单调减区间；
（2）若x∈[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{4}$]，函数f（x）=λ$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$的最大值为$\frac{1}{2}$，求实数λ的值．

Answer 1

分析 （1）由数量积的定义和三角函数公式化简可得f（x）=2cos（2x+）+3，易得周期和单调区间；
（2）求得函数f（x）=λ$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，利用三角函数的诱导公式进行化简，转化为三角函数在定区间上的最值，即可求得结果．

解答 解：（1）因为f（x）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=sin²x+sinxcosx=$\frac{1-cos2x}{2}$+$\frac{1}{2}$sin2x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$，
所以周期T=$\frac{2π}{2}=π$，由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ$+\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得单调减区间为：[k$π+\frac{3π}{8}$，k$π+\frac{7π}{8}$]，k∈Z．
（2）因为f（x）=λ$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=λ$\frac{\sqrt{2}}{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）+$\frac{1}{2}$λ=$\frac{λ}{2}$[1+$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）]，
因为x∈[-$\frac{3π}{8}$，$\frac{π}{4}$]，
所以2x-$\frac{π}{4}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{4}$]，
当λ＞0时，fmax（x）=$\frac{λ}{2}$（1+1）=$\frac{1}{2}$，即λ=$\frac{1}{2}$，
当λ＜0时，fmax（x）=$\frac{λ}{2}$（1-$\sqrt{2}$）=$\frac{1}{2}$，即λ=-1-$\sqrt{2}$，
所以λ=$\frac{1}{2}$或λ=-1-$\sqrt{2}$．

点评 此题是个中档题．考查向量的数量积的坐标运算，和三角函数的诱导公式和三角函数在定区间上的最值等基础知识，同时也考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力．