Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=1，S_n=na_n-2n（n-1）（n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n}为等差数列，并求出其通项公式；
（2）若S1+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sm

m

=400，求正整数的m值；
（3）是否存在正整数k，使得

lim

n→∞

(

1

akak+1

+

1

ak+1ak+2

+…+

1

anan+1

)=

1

2004

？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据条件以及数列的前n项和与第n项的关系可得 a_n-a_n-1=4（n≥2，n∈N^*），从而{a_n}为以1为首项，4为公差的等差数列，由此求得数列的通项公式．
（2）把数列的通项公式代入已知等式求得S_n=n（2n-1），可得 

Sn

n

=2n-1，代入S1+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sm

m

=400，求正整数的m值．
（3）由于

1

akak+1

=

1

4

(

1

ak

-

1

ak+1

)，化简

1

akak+1

+

1

ak+1ak+2

+…+

1

anan+1

，从而可得

lim

n→∞

(

1

akak+1

+

1

ak+1ak+2

+…+

1

anan+1

)=

1

4

•

1

4k-3

=

1

2004

，即4（4k-3）=2004，由此求得k的值，从而得出结论．

解答：解：（1）由于 a_n=S_n-S_n-1=[na_n-2n（n-1）]-[（n-1）a_n-1-2（n-1）（n-2）]，
化简可得 a_n-a_n-1=4（n≥2，n∈N^*），
从而{a_n}为以1为首项，4为公差的等差数列，故有 an=4n-3(n∈N*)．
（2）由Sn=nan-2n(n-1)=n(4n-3)-2n(n-1)=2n2-n=n（2n-1），∴

Sn

n

=2n-1．
从而S1+

S2

2

+

S3

3

+…+

Sm

m

=1+3+…+2m-1=m2=400，解得 m=20．
（3）由于

1

akak+1

=

1

(4k-3)(4k+1)

=

1

4

(

1

4k-3

-

1

4k+1

)=

1

4

(

1

ak

-

1

ak+1

)，
从而

1

akak+1

+

1

ak+1ak+2

+…+

1

anan+1

=

1

4

(

1

ak

-

1

an+1

)=

1

4

(

1

4k-3

-

1

4n+1

)，
从而可得

lim

n→∞

(

1

akak+1

+

1

ak+1ak+2

+…+

1

anan+1

)=

1

4

•

1

4k-3

=

1

2004

，∴4（4k-3）=2004，解得k=126．
综上可得，存在k=126，满足条件．

点评：本题主要考查数列的前n项和与第n项的关系，等差关系的确定，用裂项法进行数列求和，求数列的极限，属于中档题．