题目内容

已知抛物线y=ax²（a＜0）焦点为F，过F作直线L交抛物线于A、B两点，则 $数学公式$ =________．

-4a
分析：先求出焦点F（0， $\text{[math]}$ ），准线为 y=- $\text{[math]}$ ，设直线L的方程为 y=kx+ $\text{[math]}$ ，代入抛物线y=ax²解得 A、B的
坐标，根据抛物线的定义可得AF 和BF 的解析式，代入 $\text{[math]}$ 进行化简运算结果．
解答：抛物线y=ax²（a＜0）即 $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ y=- $\text{[math]}$ y，故焦点F（0， $\text{[math]}$ ），准线为 y=- $\text{[math]}$ ．
由题意可得，直线L的斜率存在，设直线L的方程为 y=kx+ $\text{[math]}$ ，代入抛物线y=ax²解得
x₁= $\text{[math]}$ ，x₂= $\text{[math]}$ ，∴y₁= $\text{[math]}$ ，y₂= $\text{[math]}$
不妨设A（x₁，y₁ ），B （x₂，y₂ ），由抛物线的定义可得AF=- $\text{[math]}$ -y₁=- $\text{[math]}$ ，
BF=- $\text{[math]}$ -y₂= $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =-4a，
故答案为-4a．
点评：本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，根据题意，求出AF=- $\text{[math]}$ ，BF= $\text{[math]}$ ，是解题的关键．