Question

点P是曲线y=

1

2

(x2+1)上任意一点，则P到直线y=x-2的距离的最小值是

2

．

Answer 1

分析：作直线y=x-2的平行线y=x+m，使此平行线和曲线相切，把y=x+m代入曲线y=

1

2

(x2+1)，利用△=0可得 m 值，
再利用两平行线间的距离公式求出两平行线间的距离．

解答：解：作直线y=x-2的平行线，使此平行线和曲线相切，则曲线的切线方程为y=x+m 的形式．
把y=x+m代入曲线y=

1

2

(x2+1)得   x²-2x+1-2m=0，
由△=4-4（1-2m）=0 得，m=0．
故曲线的切线方程为y=x，由题意知，这两平行线间的距离即为所求．
这两平行线间的距离为

|-2-0|

12+(-1)2

=

2

2

=

2

，
故答案为：

2

点评：本题考查两平行线间的距离公式，直线与曲线相切的性质，体现了转化的数学思想．