Question

3．已知存在实数α，使得关于x的不等式$\sqrt{x}+\sqrt{4-x}≥α$有解，则α的最大值为（　　）

• A． 2
• B． $2\sqrt{2}$
• C． 4
• D． 8

Answer 1

分析 关于x的不等式$\sqrt{x}+\sqrt{4-x}≥α$有解，求出 $\sqrt{x}+\sqrt{4-x}$的最大值即可．

解答 解：先证明（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$）²≤2（a+b）
∵a≥0，b≥0时，a+b≥2$\sqrt{ab}$，
∴2（a+b）≥a+b+2$\sqrt{ab}$，
即（$\sqrt{a}$+$\sqrt{b}$）²≤2（a+b）
∴（$\sqrt{x}+\sqrt{4-x}$）²≤2（x+4-x）=8，
∴$\sqrt{x}+\sqrt{4-x}$≤2$\sqrt{2}$，
故$\sqrt{x}+\sqrt{4-x}$的最大值为2$\sqrt{2}$，
若关于x的不等式$\sqrt{x}+\sqrt{4-x}≥α$有解，
则α的最大值为2$\sqrt{2}$，
故选：B．

点评 本题考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是求出$\sqrt{x}+\sqrt{4-x}$的最大值．