Question

已知函数f（x）=x³-3x．
（Ⅰ）求f（x）极值；
（Ⅱ）当x∈[0，a]（a＞0）时，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的极值；
（II）先对函数f（x）求导，然后令导数为0，求出x的值，分别求出f（x）在拐点及x=0和x=a时的值，通过比较即可得出答案．

解答：解：
（I）∵f′（x）=3x²-3，令f′（x）=0，得x=-1或x=1，
∴f（-1）=2，f（1）=-2，
且函数在区间（-1，1）上单调减，在（-∞，-1），（1，+∞）单调增，
故极大值为2，极小值为-2；
（II）当a∈（0，1]时，由（1）得：
最大值为0；最小值为a³-3a，
同理，当a∈（1，

3

]时：最大值为0；最小值为-2
当a∈（

3

，+∞）时：最大值为a³-3a；最小值为-2

点评：考查利用导数研究函数的单调性和图象，体现了数形结合的思想方法．本题是一道含参数的函数、导数与方程的综合题，需要对参数进行分类讨论，关键是通过求导的方法求函数的最值，属中档题．