Question

已知函数，.
（1）如果函数在上是单调减函数，求的取值范围；
（2）是否存在实数，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）（2）

试题分析：解：（1）当时，在上是单调增函数，不符合题意．…1分
当时，的对称轴方程为，由于在上是单调增函数，不符合题意．
当时，函数在上是单调减函数， 则，解得，
综上，的取值范围是．             4分
（2）把方程整理为，
即为方程.                 5分
设 ，原方程在区间()内有且只有两个不相等的实数根, 即为函数在区间()内有且只有两个零点.   ……6分
 7分
令，因为，解得或（舍）   8分
当时, , 是减函数；
当时, ，是增函数.……10分
在()内有且只有两个不相等的零点, 只需 13分
即 ∴
解得, 所以的取值范围是() ． 14分
点评：解决的关键是通过导数的符号判定函数但典型，进而来解决方程根的问题，以及函数单调性的应用，属于基础题。