题目内容

设函数f（x）= $数学公式$ （a＞0，且a≠1），[m]表示不超过实数m的最大整数，则实数[f（x）- $数学公式$ ]+[f（-x）- $数学公式$ ]的值域是

A.
[-1，1]
B.
[0，1]
C.
{-1，0}
D.
{-1，1}

C
分析：化简函数f（x）= $\text{[math]}$ ，对x的正、负、和0分类讨论，求出[f（x）- $\text{[math]}$ ]+[f（-x）- $\text{[math]}$ ]的值，从而得到所求．
解答：f（x）= $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$
∴f（x）- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
若a＞1
当x＞0 则 0≤f（x）- $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ 从而[f（x） $\text{[math]}$ ]=0
当x＜0 则- $\text{[math]}$ ＜f（x）- $\text{[math]}$ ＜0 从而[f（x） $\text{[math]}$ ]=-1
当x=0 f（x）- $\text{[math]}$ =0 从而[f（x） $\text{[math]}$ ]=0
所以：当x=0 y=[f（x）- $\text{[math]}$ ]+[f（-x）- $\text{[math]}$ ]=0
当x不等于0 y=[f（x）- $\text{[math]}$ ]+[f（-x）- $\text{[math]}$ ]=0-1=-1
同理若0＜a＜1时，当x=0 y=[f（x）- $\text{[math]}$ ]+[f（-x）- $\text{[math]}$ ]=0
当x不等于0 y=[f（x）- $\text{[math]}$ ]+[f（-x）- $\text{[math]}$ ]=0-1=-1
所以，y的值域：{0，-1}
故选C．
点评：本题考查函数的值域，函数的单调性及其特点，考查学生分类讨论的思想，是中档题．

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