Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为右顶点为过右焦点且垂直于轴的直线与椭圆相交于两点，所得四边形为菱形，且其面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）过左焦点的直线与椭圆交于两点，试求三角形面积的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)由椭圆的对称性及四边形为菱形知，可得的纵坐标为，四边形的面积为，结合的关系求解出，即可得到得答案.
(2) 设，设直线的方程为:由直线方程与椭圆方程联立，得到的表达式，求出三角形面积的表达式，再求其最大值.

（1）如图，因椭圆的对称性及四边形为菱形知，

即，即①

令，得点的纵坐标为

由四边形的面积为

故

即

又③

联立得:

故椭圆方程为

（2）由知:

设直线的方程为:

假设.

由得:

即

由得:

，故.

令

则

设

由可知: 单调递增，

故