Question

【题目】如图所示，在四棱锥中，是正三角形，四边形为直角梯形，点为中点，且，，，，.

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）取的中点，并连接，先得出为二面角的平面角，进而得到，即可得平面平面；

（2）以点为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量的夹角公式求出两个法向量夹角的余弦值，进而可得二面角的余弦值.

（1）证：取的中点，并连接.

则据题意可得：

中位线的长为，

且

又因为是正三角形，所以

故：为二面角的平面角

而，

有，即

由定义可知：平面平面

（2）解：由（1）可得：平面，

以点为坐标原点，分别以为轴建立空间直角坐标系

则，，，

，，

设为平面的法向量，

则有

令可得；同理可得：平面

故：二面角的余弦值为.